2. 考研
  3. 设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明： 存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明： 存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。

admin2019-09-29  48
问题 设A,B为三阶矩阵，且AB=A-B,若λ1,λ2,λ3为A的三个不同的特征值，证明：
存在可逆矩阵P,使得P-1AP,P-1BP同时为对角矩阵。
选项
答案因为A有三个不同的特征值λ1,λ2,λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征向量为ξ1,ξ2,ξ3,则有A(ξ1,ξ2,ξ3)=(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), BA(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), AB(ξ1,ξ2,ξ3)=B(ξ1,ξ2,ξ3)diag(λ1,λ2,λ3), 于是有ABξi=λiBξi，i=1,2,3. 若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi=μiξi； 若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量。 无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi是B的特征向量，因此，令P=(ξ1,ξ2,ξ3),则P-1AP,P-1BP同为对角阵。
解析
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考研数学二

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