设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m>n,则必有 ( )

admin2019-02-01  29

问题 设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m>n,则必有    (    )

选项 A、|AB|=0
B、|BA|=0
C、|AB|=|BA|
D、||BA|BA|=|BA||BA|

答案A

解析 由于m>n,则有r(AB)≤r(A)≤n<m,可知矩阵AB不满秩,因此(A)正确.由于BA是n阶矩阵,是否满秩无法确定,故不一定有|BA|=0,故(B)错误.
    由于A,B不为方阵,因此没有等式|AB|=|A||B|=|BA|.事实上,由上面的讨论过程可知,当BA满秩时,有|AB|=0≠|BA|,故(C)不正确.
    ||BA|BA|=|BA|n|BA|=|BA|n+1,可知,等式||BA|BA|=|BA||BA|也不一定成立,故(D)错误.
    综上,唯一正确的选项是(A).
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