设A=(aij)mxn，y=(y1，y2，…，yn)T，b=(b1，b2，…，bm)T，x=(x1，x2，…，xm)T，证明方程组Ay＝有解的充分必要条件是方程组无解(其中0是n×1矩阵)。

admin2019-11-04 32

问题设A=(a_ij)_mxn，y=(y₁，y₂，…，y_n)^T，b=(b₁，b₂，…，b_m)^T，x=(x₁，x₂，…，x_m)^T，证明方程组Ay＝有解的充分必要条件是方程组

无解(其中0是n×1矩阵)。

选项

答案必要性：设方程组Ay＝b有解，则对满足A^Tx＝0的向量x₀，b^Tx₀＝y^TA^Tx₀＝y^T×0＝0从而[*]，可见方程组[*]无解。充分性：设方程组[*]无解，则线性方程组的增广矩阵的秩 [*] 另一方面， [*] 所以有[*]。又由于[*]≥r(A)，可知r(A)=[*]，从而方程组Ay=b有解。

解析

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