设a>0,函数f(x)在[0,+∞)上连续有界,证明:微分方程y’+ay=f(x)的解在[0,+∞)上有界.

admin2019-01-23  23

问题 设a>0,函数f(x)在[0,+∞)上连续有界,证明:微分方程y’+ay=f(x)的解在[0,+∞)上有界.

选项

答案原方程的通解为 y(x)=e-ax[C+∫0xf(t)eatdt], 其中C为任意常数. 设f(x)在[0,+∞)上的上界为M,即|f(x)|≤M,则当x≥0时,有 |y(x)|=|e-ax[C+∫0xf(t)eatdt]|≤|Ce-ax|+eax|∫0xf(t)eatdt| ≤|C|+Me-ax0xeatdt= [*] 即y(x)在[0,+∞)上有界.

解析
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