设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

admin2019-01-23 25

问题设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y’+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．

选项

答案原方程的通解为 y(x)=e^－ax[C+∫₀^xf(t)e^atdt]，其中C为任意常数．设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有｜y(x)｜=｜e^－ax[C+∫₀^xf(t)e^atdt]｜≤｜Ce^－ax｜+e^ax｜∫₀^xf(t)e^atdt｜ ≤｜C｜+Me^－ax∫₀^xe^atdt= [*] 即y(x)在[0，+∞)上有界．

解析

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考研数学一

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