2. 考研
  3. 设f(x)在[0，﹢∞)上可导，f(0)＝0，y＝f(x)的反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t－x)dt＝x2ln(1＋x)，则f(1)＝________

设f(x)在[0，﹢∞)上可导，f(0)＝0，y＝f(x)的反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t－x)dt＝x2ln(1＋x)，则f(1)＝________

admin2022-09-14  39
问题 设f(x)在[0，﹢∞)上可导，f(0)＝0，y＝f(x)的反函数为g(x)，若∫xx+f(x)g(t－x)dt＝x2ln(1＋x)，则f(1)＝________
选项
答案3ln 2－1
解析 由于
∫xx＋f(x)g(t－x)dt∫0f(x)g(u)du
故
∫0f(x)g(u)du＝x2ln(1＋x)，两边同时对x求导，得
g[f(x)]·f’(x)＝2xln(1＋x)＋x2/1＋x
即
xf’(x)＝2xln(1＋x)＋x2/1＋x
当x≠0时，f’(x)＝2In(1＋x)＋x/1＋x，积分，得
f(x)＝2xln(1＋x)－x＋ln(1＋x)＋C
由f(x)在x＝0处连续，知670f’(x)＝f(0)，故C＝0，所求f(1)＝31n 2－1
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考研数学二

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