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设f(x)在[0,﹢∞)上可导,f(0)=0,y=f(x)的反函数为g(x),若∫xx+f(x)g(t-x)dt=x2ln(1+x),则f(1)=________
设f(x)在[0,﹢∞)上可导,f(0)=0,y=f(x)的反函数为g(x),若∫xx+f(x)g(t-x)dt=x2ln(1+x),则f(1)=________
admin
2022-09-14
58
问题
设f(x)在[0,﹢∞)上可导,f(0)=0,y=f(x)的反函数为g(x),若∫
x
x+f(x)
g(t-x)dt=x
2
ln(1+x),则f(1)=________
选项
答案
3ln 2-1
解析
由于
∫
x
x+f(x)
g(t-x)dt
∫
0
f(x)
g(u)du
故
∫
0
f(x)
g(u)du=x
2
ln(1+x),两边同时对x求导,得
g[f(x)]·f’(x)=2xln(1+x)+x
2
/1+x
即
xf’(x)=2xln(1+x)+x
2
/1+x
当x≠0时,f’(x)=2In(1+x)+x/1+x,积分,得
f(x)=2xln(1+x)-x+ln(1+x)+C
由f(x)在x=0处连续,知
670f’(x)=f(0),故C=0,所求f(1)=31n 2-1
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考研数学二
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