设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…,γn),记向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αn;(Ⅱ):β1,β2,…,βn;(Ⅲ):γ1,γ2,…,γn,若向量组(Ⅲ)线性相关,则( ).

admin2021-11-15  28

问题 设n阶矩阵A=(α1,α2,…,αn),B=(β1,β2,…,βn),AB=(γ1,γ2,…,γn),记向量组(Ⅰ):α1,α2,…,αn;(Ⅱ):β1,β2,…,βn;(Ⅲ):γ1,γ2,…,γn,若向量组(Ⅲ)线性相关,则(          ).

选项 A、(Ⅰ),(Ⅱ)都线性相关
B、(Ⅰ)线性相关
C、(Ⅱ)线性相关
D、(Ⅰ),(Ⅱ)至少有一个线性相关

答案D

解析 若α1,α2,…,αm线性无关,β1,β2,…,βn线性无关,则,r(A)=n,r(B)=n,于是r(AB)=n.因为γ1,γ2,…,γn线性相关,所以r(AB)=r(γ1,γ2,…,γn)<n,故α1,α2,…,αn与β1,β2,…,βn至少有一个线性相关,选(D).
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