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  3. 设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.

admin2019-09-29  99
问题 设A为n阶矩阵，A11≠0.证明：非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解的充分必要条件是A*b=0.
选项
答案设非齐次线性方程组AX=b有无穷多个解，则r(A)＜n,从而∣A∣=0， 于是A*b=A*AX=∣A∣X=0. 反之，设A*b=0，因为b≠0,所以方程组A*X=0有非零解，从而r(A*)＜n,又A11≠0,所以r(A*)=1，且r(A)=n-1。 因为r(A*)=1，所以方程组A*X=0的基础解系含有n-1个线性无关的解向量，而A*A=O,所以A的列向量组a1,a2,...an为方程组A*X=0的一组解向量。 由A11≠0得a2,...an线性无关，所以a2,...an是方程组A*X=0的基础解系。 因为A*b=0，所以b可由a2,...an线性表示，也可由a1,a2,...an线性表示，故r(A)=[*]=n-1＜n,即方程组AX=b有无穷多个解。
解析
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考研数学二

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