设函数M(χ，y)有连续二阶偏导数，满足＝0，又满足下列条件：u(χ，2χ)＝χ，uχ′(χ，2χ)＝χ2(即uχ′(χ，y)｜y＝2χ＝2χ2)，求χχ〞(χ，2χ)，uχy〞(χ，2χ)，uyy〞，(χ，2χ)．

admin2019-02-23 50

问题设函数M(χ，y)有连续二阶偏导数，满足

＝0，又满足下列条件：u(χ，2χ)＝χ，u_χ^′(χ，2χ)＝χ²(即u_χ^′(χ，y)｜_y＝2χ＝2χ²)，求_χχ^〞(χ，2χ)，u_χy^〞(χ，2χ)，u_yy^〞，(χ，2χ)．

选项

答案将u(χ，2χ)＝χ两边对χ求导，由复合函数求导法及u′_χ(χ，2χ)＝χ²得 u′_χ(χ，2χ)＋2u′_y(χ，2χ)＝1，u′_y(χ，2χ)＝[*](1－χ²)．现将u′_χ(χ，2χ)＝χ²，u′_y(χ，2χ)＝[*](1－χ²)分别对χ求导得 u〞_χχ(χ，2χ)＋2u〞_χy(χ，2χ)＝2χ， ① u〞_yχ(χ，2χ)＋2u〞_yy(χ，2χ)＝－χ． ② ①式×2－②式，利用条件u〞_χχ(χ，2χ)－u〞_yy(χ，2χ)＝0及u〞_χy(χ，2χ)＝u〞_yχ(χ，2χ)得 3u〞_χy，(χ，2χ)＝5χ，u〞_χy(χ，2χ)＝[*]χ．代入①式得u〞_χχ(χ，2χ)＝u〞_yy(χ，2χ)＝－[*]χ．

解析

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考研数学二

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设函数M(χ，y)有连续二阶偏导数，满足＝0，又满足下列条件：u(χ，2χ)＝χ，uχ′(χ，2χ)＝χ2(即uχ′(χ，y)｜y＝2χ＝2χ2)，求χχ〞(χ，2χ)，uχy〞(χ，2χ)，uyy〞，(χ，2χ)．

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