2. 考研
  3. 设f(χ)在(0，＋∞)三次可导，且当χ∈(0，＋∞)时｜f(χ)｜≤M0，｜f″′(χ)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．

设f(χ)在(0，＋∞)三次可导，且当χ∈(0，＋∞)时｜f(χ)｜≤M0，｜f″′(χ)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．

admin2016-10-21  100
问题 设f(χ)在(0，＋∞)三次可导，且当χ∈(0，＋∞)时｜f(χ)｜≤M0，｜f″′(χ)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．
选项
答案分别讨论χ＞1与0＜χ≤1两种情形． 1)当χ＞1时考察二阶泰勒公式 [*] 两式相加并移项即得 f〞(χ)＝f(χ＋1)＋f(χ－1)－2f(χ)＋[*][f″′(η)－f″′(ξ)]， 则当χ＞1时有｜f〞(χ)｜≤4M0＋[*]M3． 2)当0＜χ≤1时对f〞(χ)用拉格朗日中值定理，有 f〞(χ)＝f〞(χ)－f〞(1)＋f〞(1)＝f″′(ξ)(χ－1)＋f〞(1)，其中ξ∈(χ，1)． [*]｜f〞(χ)｜≤｜f″′(χ)｜≤｜χ－1｜＋｜f〞(1)｜≤M3＋｜f〞(1)｜ (χ∈(0，1])． 综合即知f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．
解析
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考研数学二

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