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  3. 设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得

设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得

admin2017-04-24  60
问题 设函数f(x)连续，且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得
选项 A、f(x)在(0，δ)内单调增加．
B、f(x)在c一δ，0)内单调减少．
C、对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．
D、对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．
答案C
解析 由于f’(0)=＞0，由极限的保号性知，存在δ＞0，当x∈(一δ，0)或x∈(0，δ)时，＞0，而当x∈(0，δ)时x＞0，则此时f(x)一f(0)＞0，即f(x)＞f(0)，故应选(C)．
本题主要考查当函数在一点处导数大于零时，函数在该点邻近的性态．关于此问题有以下结论：
“若f’(x0)＞0，则存在δ＞0，使得当x∈(x0一δ，δ)时，有f(x)＜f(x0)；当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)＞ f(x0)”．(若f’(x0)＜0时有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明，即利用导数定义和函数极限的保号性证明，本题很容易选(A)，这个选择是错误的，事实上没有以下结论：“若f(x0)＞0，则存在δ＞0，在 (x0一δ，x0+δ)内f(x)单调增”，反例如下

可以证明f’(0)=1＞0，但f(x)在x=0的任何邻域内却不单调增，事实上可以证明，在x=0的任何邻域内既有使f’(x)＞0的点，也有使得f’(x)＜0的点．
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考研数学二

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