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设函数f(x)连续,且f’(0)>0,则存在δ>0,使得
设函数f(x)连续,且f’(0)>0,则存在δ>0,使得
admin
2017-04-24
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问题
设函数f(x)连续,且f’(0)>0,则存在δ>0,使得
选项
A、f(x)在(0,δ)内单调增加.
B、f(x)在c一δ,0)内单调减少.
C、对任意的x∈(0,δ)有f(x)>f(0).
D、对任意的x∈(一δ,0)有f(x)>f(0).
答案
C
解析
由于f’(0)=
>0,由极限的保号性知,存在δ>0,当x∈(一δ,0)或x∈(0,δ)时,
>0,而当x∈(0,δ)时x>0,则此时f(x)一f(0)>0,即f(x)>f(0),故应选(C).
本题主要考查当函数在一点处导数大于零时,函数在该点邻近的性态.关于此问题有以下结论:
“若f’(x
0
)>0,则存在δ>0,使得当x∈(x
0
一δ,δ)时,有f(x)<f(x
0
);当x∈(x
0
,x
0
+δ)时,f(x)> f(x
0
)”.(若f’(x
0
)<0时有类似的结论)本结论可利用本题题解中的方法证明,即利用导数定义和函数极限的保号性证明,本题很容易选(A),这个选择是错误的,事实上没有以下结论:“若f(x
0
)>0,则存在δ>0,在 (x
0
一δ,x
0
+δ)内f(x)单调增”,反例如下
可以证明f’(0)=1>0,但f(x)在x=0的任何邻域内却不单调增,事实上可以证明,在x=0的任何邻域内既有使f’(x)>0的点,也有使得f’(x)<0的点.
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考研数学二
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