(2009年试题,23)设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3. (I)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.

admin2013-12-18  92

问题 (2009年试题,23)设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.

选项

答案(I)由题设可知二次型f的矩阵[*]则[*]令|λE—A|=0,则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ1=a2λ2=a一2,λ3=a+1(Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,则说明它有两个特征值为正,一个为0.①若λ1=a=0,则λ2=一2<0,λ3=1>0,不符合题意;②若λ2=a一2=0,即a=2,则λ1=2>0,λ3=3>0,符合题意;③若λ3=a+1=0,即a=一1,则λ1=一1<0,λ2=一3<0,不符合题意.综上可知,a=2.

解析
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