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(2009年试题,23)设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3. (I)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
(2009年试题,23)设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3. (I)求二次型f的矩阵的所有特征值; (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22,求a的值.
admin
2013-12-18
104
问题
(2009年试题,23)设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+ax
2
2
+(a一1)x
3
2
+2x
1
x
3
一2x
2
x
3
.
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值;
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,求a的值.
选项
答案
(I)由题设可知二次型f的矩阵[*]则[*]令|λE—A|=0,则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ
1
=a
2
λ
2
=a一2,λ
3
=a+1(Ⅱ)若二次型f的规范形为y
1
2
+y
2
2
,则说明它有两个特征值为正,一个为0.①若λ
1
=a=0,则λ
2
=一2<0,λ
3
=1>0,不符合题意;②若λ
2
=a一2=0,即a=2,则λ
1
=2>0,λ
3
=3>0,符合题意;③若λ
3
=a+1=0,即a=一1,则λ
1
=一1<0,λ
2
=一3<0,不符合题意.综上可知,a=2.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/R934777K
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考研数学二
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