(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2013-12-18 171

问题 (2009年试题，23)设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+ax₂²+(a一1)x₃²+2x₁x₃一2x₂x₃．
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(I)由题设可知二次型f的矩阵[*]则[*]令｜λE—A｜=0，则可得到矩阵A的3个特征值分别为λ₁=a₂λ₂=a一2，λ₃=a+1(Ⅱ)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，则说明它有两个特征值为正，一个为0．①若λ₁=a=0，则λ₂=一2<0，λ₃=1>0，不符合题意；②若λ₂=a一2=0，即a=2，则λ₁=2>0，λ₃=3>0，符合题意；③若λ₃=a+1=0，即a=一1，则λ₁=一1<0，λ₂=一3<0，不符合题意．综上可知，a=2．

解析

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考研数学二

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(2009年试题，23)设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a一1)x32+2x1x3一2x2x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (Ⅱ)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

考研数学二

设矩阵A=，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=__________。

[2010年]若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(－1，0)，则b=_________．

(2004年)函数在下列哪个区间内有界：()

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=。若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q-1AQ=()

(2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

已知矩阵A=，则()

设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)＝φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有

[2006年]设三阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3，向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ；

[2008年]如图1．3．3．2所示，曲线段方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分等于()．

(88年)过曲线y＝χ2(χ≥0)上某点A作一切线．使之与曲线及χ轴围成图形的面积为，求：(1)切点A的坐标．(2)过切点A的切线方程；(3)由上述图形绕z轴旋转而成旋转体体积V．

水平液面的附加压力为零，这是因为()。

下列有关老年人的解剖生理特点叙述错误的为

宪法惯例是指宪法无明文规定，但在实际政治生活中存在，并为国家机关、政党及公众所普遍遵循，且与宪法具有同等效力的习惯或传统。你认为其特征主要可以概括为下列选项中的哪几项内容?()

矩形截面杆的截面宽度沿杆长不变，杆的中段高度为2a，左、右段高度为3a，在图5－62所示三角形分布荷载作用下，杆的截面m－m和截面n－n分别发生()。

财务生存能力分析中，财务生存的必要条件是：

QDII基金在募集认购的具体规定上的特点有()。

根据以下表格资料，回答问题。2014年10月，A省下列余额(人民币)中同比增长量最少的是()。

“字书”在中国古代是指()。

1，11，21，1211，111221，(　)

Thefieldofanimalemotions,anareaoffocusinthescientificdisciplineconcernedwiththestudyofanimalmindscalledcogn

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设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=。若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q-1AQ=()

(2009年)设曲线y=f(x)，其中y=f(x)是可导函数，且f(x)＞0。已知曲线y=f(x)与直线y=0，x=1及x=t(t＞1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线方程。

已知矩阵A=，则()

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[2008年]如图1．3．3．2所示，曲线段方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续导数，则定积分等于()．

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水平液面的附加压力为零，这是因为()。

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矩形截面杆的截面宽度沿杆长不变，杆的中段高度为2a，左、右段高度为3a，在图5－62所示三角形分布荷载作用下，杆的截面m－m和截面n－n分别发生()。

财务生存能力分析中，财务生存的必要条件是：

QDII基金在募集认购的具体规定上的特点有()。

根据以下表格资料，回答问题。2014年10月，A省下列余额(人民币)中同比增长量最少的是()。

“字书”在中国古代是指()。

1，11，21，1211，111221，( )

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1，11，21，1211，111221，(　)