2. 考研
  3. [2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.

[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.

admin2021-01-25  109
问题 [2008年]  设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则|4A-1一E|=_________.
选项
答案3
解析 解一  因A的特征值为1，2，2，故A-1的特征值为1，1／2，1／2．因而4A-1一E的特征值为
              λ1=4×1—1=3，  λ2=4×(1／2)一1=1，  λ3=4×(1／2)一1=1，
故     |4A-1一E|=λ1λ2λ3=3×1×1=3．
    解二  所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP—diag(1，2，2)①=Λ，即A=PΛP-1．于是
              A-1=PΛ-1P-1，  4A-1一E=4．PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1-E)P-1，
两端取行列式得到|4A-1一E|=|P||4Λ-1一E||P-1|=|4Λ-1一E|=|4diag(1，1／2，l／2)一E|=|diag(3，1，1)|=3．
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考研数学三

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