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[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=_________.
[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A-1一E|=_________.
admin
2021-01-25
92
问题
[2008年] 设三阶矩阵A的特征值为1,2,2,E为三阶单位矩阵,则|4A
-1
一E|=_________.
选项
答案
3
解析
解一 因A的特征值为1,2,2,故A
-1
的特征值为1,1/2,1/2.因而4A
-1
一E的特征值为
λ
1
=4×1—1=3, λ
2
=4×(1/2)一1=1, λ
3
=4×(1/2)一1=1,
故 |4A
-1
一E|=λ
1
λ
2
λ
3
=3×1×1=3.
解二 所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关,现用加强条件法求出此结果.如果A与对角矩阵相似,则存在可逆矩阵P,使得P
-1
AP—diag(1,2,2)①=Λ,即A=PΛP
-1
.于是
A
-1
=PΛ
-1
P
-1
, 4A
-1
一E=4.PΛ
-1
P
-1
一PEP
-1
=P(4Λ
-1
-E)P
-1
,
两端取行列式得到|4A
-1
一E|=|P||4Λ
-1
一E||P
-1
|=|4Λ
-1
一E|=|4diag(1,1/2,l/2)一E|=|diag(3,1,1)|=3.
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考研数学三
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