2. 考研
  3. 设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x≤a}，B={Y＞a}． 若P(A∪B)=3/4，求a；

设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x≤a}，B={Y＞a}． 若P(A∪B)=3/4，求a；

admin2020-04-30  25
问题 设(X，Y)在区域D={(x，y)｜1≤x≤3，1≤y≤3}上服从均匀分布，事件A={x≤a}，B={Y＞a}．
若P(A∪B)=3/4，求a；
选项
答案由已知条件可知，X和Y的联合概率密度为[*] 关于X和Y的边缘概率密度为 [*] 由于对任意的x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)，所以X和Y相互独立． 显然P(B)=P{Y＞a}=1-P{X≤a}=1-P(A)， 于是有3/4=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(A)+P(A)(1-P(A))，解得P(A)=1/2． 即[*]
解析 本题考查将问题提炼为几何型概率和伯努利概率模型的能力．首先利用加法公式求出常数a，而D0为事件A∪B所占的区域，随机地向D投点4次，因此该试验是4次伯努利试验，由于Z为落入D0内的次数，因此意识到Z服从B(4，P(A∪B))，进而可利用方差的计算公式求出E(Z2)．
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考研数学一

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