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  3. 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

admin2014-09-08  53
问题 下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[    ]．
选项 A、
B、
C、
D、
答案B
解析 选项A，有三个不同的特征值，所以可以对角化．
对于选项B，设B中矩阵为B，则
   
矩阵B的特征值为λ1＝λ2＝0，λ3＝4．
  对于二重特征值λ＝0，有
    ，
r(B—λI)＝2，所以齐次线性方程组(B—λI)x＝0的基础解系中只有一个向量，即λ＝0只有一个线性无关的特征向量，因此B没有3个线性无关的特征向量．从而B不能对角化。
    注选项C中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化．
    设选项D中的矩阵为D，则
      
对于二重特征值λ＝0，有
      
r(D—λI)＝1，所以二重特征值λ＝0对应于两个线性无关的特征向量，故D中的矩阵可以对角化．
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