下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

admin2014-09-08 83

问题下列矩阵中，不能与对角矩阵相似的是[ ]．

选项 A、

B、

C、

D、

答案B

解析选项A，有三个不同的特征值，所以可以对角化．
对于选项B，设B中矩阵为B，则

矩阵B的特征值为λ₁＝λ₂＝0，λ₃＝4．
对于二重特征值λ＝0，有

，
r(B—λI)＝2，所以齐次线性方程组(B—λI)x＝0的基础解系中只有一个向量，即λ＝0只有一个线性无关的特征向量，因此B没有3个线性无关的特征向量．从而B不能对角化。
注选项C中的矩阵是对称矩阵，所以可以对角化．
设选项D中的矩阵为D，则

对于二重特征值λ＝0，有

r(D—λI)＝1，所以二重特征值λ＝0对应于两个线性无关的特征向量，故D中的矩阵可以对角化．

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GCT工程硕士（数学）

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