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下列矩阵中,不能与对角矩阵相似的是[ ].
下列矩阵中,不能与对角矩阵相似的是[ ].
admin
2014-09-08
67
问题
下列矩阵中,不能与对角矩阵相似的是[ ].
选项
A、
B、
C、
D、
答案
B
解析
选项A,有三个不同的特征值,所以可以对角化.
对于选项B,设B中矩阵为B,则
矩阵B的特征值为λ
1
=λ
2
=0,λ
3
=4.
对于二重特征值λ=0,有
,
r(B—λI)=2,所以齐次线性方程组(B—λI)x=0的基础解系中只有一个向量,即λ=0只有一个线性无关的特征向量,因此B没有3个线性无关的特征向量.从而B不能对角化。
注选项C中的矩阵是对称矩阵,所以可以对角化.
设选项D中的矩阵为D,则
对于二重特征值λ=0,有
r(D—λI)=1,所以二重特征值λ=0对应于两个线性无关的特征向量,故D中的矩阵可以对角化.
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