2. 考研
  3. [2005年] 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第l行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．

[2005年] 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第l行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．

admin2021-01-19  49
问题 [2005年]  设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第l行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则(    )．
选项 A、交换A*的第1列与第2列得B*
B、交换A*的第1行与第2行得B*
C、交换A*的第1列与第2列得一B*
D、交换A*的第1行与第2行得一B*
答案C
解析 先由所给条件求出A与B的关系，再利用此关系及A*与B*的性质即可得
A*与B*的关系．
解一  由题设有B=E12A，由命题2．2．5．2得到
  B*=B[B-1=∣E12A∣(E12A)-1=∣E12∣∣A∣A-1E12-1=一∣A∣A-1E12=一A*E12，
即A*E12=一B*．因而交换A*的第1列与第2列得到一B*．仅(C)入选．
解二  由题设有B=E12A．则B*=(E12A)*．再由命题2．2．2．2(6)得到(E12A)*=
A*(E12)*，而由命题2．2．5．2(3)、(2)得到
    E*12=∣E12∣(E12)-1=(－1)E12=一E12，
故B*=A*E*12=一A*E12，即一B*=A*E12．由此可知，交换A*的第1列与第2列得一B*．
仅(C)入选．
解三  下面由B=E12A找出B*与A*的关系，而B*=∣B∣B-1，A*=∣A∣A-1．为此，
只需找出∣B∣与∣A∣及B-1与A-1之关系即可．事实上，由B=E12A及命题2．2．5．2(2)、(3)得到
    B-1=∣E12A∣-1=A-1E12-1=A-1E12 ①
    ∣B∣=∣E12A∣=∣E12∣∣A∣=一∣A∣，②
将式①与式②左、右两端相乘，得到
    ∣B∣B-1=一∣A∣ A-1E12，  即  B*=一A*E12，  亦即    一B*=A*E12，于是交换A*的第1列与第2列得一B*．仅(C)入选．
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考研数学二

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