求下列隐函数的微分或导数： (Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy； (Ⅱ)设方程确定y=y(x)，求y’与y’’．

admin2019-06-28 107

问题求下列隐函数的微分或导数：
(Ⅰ)设ysinx-cos(x-y)=0，求dy；
(Ⅱ)设方程

确定y=y(x)，求y’与y’’．

选项

答案(Ⅰ)利用一阶微分形式不变性求得 d(ysinx)-dcos(x-y)=0，即sinxdy+ycosxdx+sin(x-y)(dx-dy)=0，整理得[sin(x-y)-sinx]dy=[ycosx+sin(x-y)]dx，故 [*] (Ⅱ)将原方程两边取对数，得等价方程 [*]ln(x²+y²)=arctan[*](*) 现将方程两边求微分得 [*] 化简得xdx+ydy=xdy-ydx，即(x-y)dy=(x+y)dx，由此解得 [*] 为求y’’，将y’满足的方程(x-y’)y’=x+y两边再对x求导，即得 (1-y’)y’+(x-y)y’’=1+y’[*] 代入y’表达式即得 [*]

解析

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考研数学二

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