设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

admin2021-01-28 83

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-2x₁²-2x₁³-2a2x₂²(a＜0)通过正交变换化为标准型2y₁²+2y₂²+by₃²。
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型的最大值。

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX 因为二次型经过正交变化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b，由特征值的性质得[*]解得a=-1，b=-1。 (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E-A)X=0得ζ₁=[*]，ζ₂=[*]；当λ₃=-1时，由(-E-A)X=0，得ζ₁=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以‖X‖=1时，‖Y‖=1，当‖Y‖=1时，二次型的最大值为2。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

考研数学三

设a＞0，f(x)＝g(x)＝而D表示整个平面，则I＝f(x)－g(y－x)dxdy＝______．

设(a＜0)，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为________．

设y=y(x)由方程y=1+xexy，确定，则dy｜x=0=，y’’｜x=0=．

设X1，X2，X3，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机变量，X是样本均值，记s12则服从自由度为n－1的t分布的随机变量为()．

某产品的成本函数为C(q)=aq2+bq+c，需求函数为q=(β一p)，其中c＞0为固定成本，a，b，α，β均为正常数，β＞b，q为需求量(需求量等于产量)，p为该产品的单价．求产量q为何值时，利润最大?

设总体X～N(0，4)，X1，X2，X3为来自总体X的简单随机样本，令,，若，则a＝，n＝．

设齐次线性方程组Ax=0有解α1=(1，2，1，3)T，α2=(1，1，一1，1)T，α3=(1，3，3，5)T，α4=(4，5，一2，6)T．其余Ax=0的解向量均可由α1，α2，α3，α4线性表出，则Ax=0的基础解系为()

设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b，证明：(b-a)2．

设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是

设z=f(x，y)二阶连续可偏导，且=x+1，f’x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=________．

阅读下文，回答问题。温暖的村庄安庆村庄真是一个固执的地方

()对于《史记》相当于刻舟求剑对于()。

一般识别声音所需要的最短持续时间为()ms。

平等的市场主体应该享有平等地接近和享用经济要素的权利，()是保证农民平等地享用经济资源，是统筹城乡经济社会发展的关键。

用不超过150字的篇幅，概括出上述资料的主要内容。用不超过350字的篇幅，针对资料所反映的问题，提出解决方案或应对措施，该方案或措施要有可行性。

设不定积分的结果中不含对数函数，求常数α，β，γ，δ应满足的充要条件，并计算此不定积分．

一台交换机具有48个10／100Mbit／s端口和2个1000Mbit／s端口，如果所有端口都工作在全双工状态，那么交换机总带宽应为()。

Marywasgoingtoaweddingsoshebrushed______well.

Humanbehaviorismostlyaproductoflearning,whereasthebehaviorofananimaldependsmainlyon________.

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设(a＜0)，且AX=0有非零解，则A*X=0的通解为________．

设y=y(x)由方程y=1+xexy，确定，则dy｜x=0=______，y’’｜x=0=______．

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某产品的成本函数为C(q)=aq2+bq+c，需求函数为q=(β一p)，其中c＞0为固定成本，a，b，α，β均为正常数，β＞b，q为需求量(需求量等于产量)，p为该产品的单价．求产量q为何值时，利润最大?

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设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b，证明：(b-a)2．

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设z=f(x，y)二阶连续可偏导，且=x+1，f’x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=________．

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一台交换机具有48个10／100Mbit／s端口和2个1000Mbit／s端口，如果所有端口都工作在全双工状态，那么交换机总带宽应为()。

Marywasgoingtoaweddingsoshebrushed______well.

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设y=y(x)由方程y=1+xexy，确定，则dy｜x=0=，y’’｜x=0=．