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设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a<0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a,b的值; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|-1时,求二次型
设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a<0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a,b的值; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|-1时,求二次型
admin
2021-01-28
57
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-2x
1
2
-2x
1
3
-2a2x
2
2
(a<0)通过正交变换化为标准型2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
。
(Ⅰ)求常数a,b的值;
(Ⅱ)求正交变换矩阵;
(Ⅲ)当|X|-1时,求二次型的最大值。
选项
答案
(Ⅰ)令[*],则f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX 因为二次型经过正交变化为2y
1
2
+2y
2
2
+by
3
2
,所以矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=2,λ
3
=b, 由特征值的性质得[*]解得a=-1,b=-1。 (Ⅱ)当λ
1
=λ
2
=2时,由(2E-A)X=0得ζ
1
=[*],ζ
2
=[*]; 当λ
3
=-1时,由(-E-A)X=0,得ζ
1
=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵,所以‖X‖=1时,‖Y‖=1,当‖Y‖=1时,二次型的最大值为2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2lx4777K
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考研数学三
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