设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

admin2021-01-28 73

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-2x₁²-2x₁³-2a2x₂²(a＜0)通过正交变换化为标准型2y₁²+2y₂²+by₃²。
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型的最大值。

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX 因为二次型经过正交变化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b，由特征值的性质得[*]解得a=-1，b=-1。 (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E-A)X=0得ζ₁=[*]，ζ₂=[*]；当λ₃=-1时，由(-E-A)X=0，得ζ₁=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以‖X‖=1时，‖Y‖=1，当‖Y‖=1时，二次型的最大值为2。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

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