设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a<0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a,b的值; (Ⅱ)求正交变换矩阵; (Ⅲ)当|X|-1时,求二次型

admin2021-01-28  57

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a<0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32
    (Ⅰ)求常数a,b的值;
    (Ⅱ)求正交变换矩阵;
    (Ⅲ)当|X|-1时,求二次型的最大值。

选项

答案(Ⅰ)令[*],则f(x1,x2,x3)=XTAX 因为二次型经过正交变化为2y12+2y22+by32,所以矩阵A的特征值为λ12=2,λ3=b, 由特征值的性质得[*]解得a=-1,b=-1。 (Ⅱ)当λ12=2时,由(2E-A)X=0得ζ1=[*],ζ2=[*]; 当λ3=-1时,由(-E-A)X=0,得ζ1=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵,所以‖X‖=1时,‖Y‖=1,当‖Y‖=1时,二次型的最大值为2。

解析
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