设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

admin2021-01-28 81

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-2x₁²-2x₁³-2a2x₂²(a＜0)通过正交变换化为标准型2y₁²+2y₂²+by₃²。
(Ⅰ)求常数a，b的值；
(Ⅱ)求正交变换矩阵；
(Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型的最大值。

选项

答案(Ⅰ)令[*]，则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX 因为二次型经过正交变化为2y₁²+2y₂²+by₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=2，λ₃=b，由特征值的性质得[*]解得a=-1，b=-1。 (Ⅱ)当λ₁=λ₂=2时，由(2E-A)X=0得ζ₁=[*]，ζ₂=[*]；当λ₃=-1时，由(-E-A)X=0，得ζ₁=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以‖X‖=1时，‖Y‖=1，当‖Y‖=1时，二次型的最大值为2。

解析

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考研数学三

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设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

考研数学三

设f=x12+x22+5x32+2a1x2一2x1x2+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是__________。

以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为__________．

独立投骰子两次，X，Y表示投出的点数，令A={X+Y=10)，B={X＞Y)，则P(A+B)=________．

与α1=(1，一1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是___________．

设向量组α1，α2，α3线性无关，β1不可α1，α2，α3线性表示，而β2可由α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．

求极限

设I＝xydxdy，其中D由曲线y＝，y＝－x和y＝所围成，则I的值为()．

对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]．(Ⅰ)证明g′(χ)单调增加；(Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ；(Ⅲ)将g(χ)

下列命题正确的是()．

已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3—2A2，则r（B）=（）

下列药物中属于驱虫药物的是()。

"大积大聚，其可犯也，衰其大半而止"，载于

根据《期货市场客户开户管理规定》，()应当建立健全相应的应急处理机制，防范和化解统一开户系统的运行风险。

现金流量中的现金包括()。

关于应税消费品销售数量的确定，下列说法中正确的有(　　　)。

95，88，71，61，50，()

下列作品按写作年代的先后顺序排列，正确的一项是：①《子路、曾皙、冉有、公西华侍坐》②《伐檀》③《涉江》④《柳毅传》⑤《林黛玉进贾府》⑥《窦娥冤》⑦《孔雀东南飞》

假定a=3，下列程序的运行结果是()。#includeintfun(intn)；voidmain(){couta；result=fun(a)；cout

WhatdoestheManMean?

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

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设f=x12+x22+5x32+2a1x2一2x1x2+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是__________。

以y=C1e-2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为__________．

独立投骰子两次，X，Y表示投出的点数，令A={X+Y=10)，B={X＞Y)，则P(A+B)=________．

与α1=(1，一1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是___________．

设向量组α1，α2，α3线性无关，β1不可α1，α2，α3线性表示，而β2可由α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．

求极限

设I＝xydxdy，其中D由曲线y＝，y＝－x和y＝所围成，则I的值为()．

对于一切实数t，函数f(t)为连续的正函数且可导，又f(－t)＝f(t)，设g(χ)＝∫-aa｜χ－t｜f(t)dt，a＞0，χ∈[－a，a]．(Ⅰ)证明g′(χ)单调增加；(Ⅱ)求出使g(χ)取得最小值的χ；(Ⅲ)将g(χ)

下列命题正确的是()．

已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3—2A2，则r（B）=（）

下列药物中属于驱虫药物的是()。

"大积大聚，其可犯也，衰其大半而止"，载于

根据《期货市场客户开户管理规定》，()应当建立健全相应的应急处理机制，防范和化解统一开户系统的运行风险。

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关于应税消费品销售数量的确定，下列说法中正确的有( )。

95，88，71，61，50，()

下列作品按写作年代的先后顺序排列，正确的一项是：①《子路、曾皙、冉有、公西华侍坐》②《伐檀》③《涉江》④《柳毅传》⑤《林黛玉进贾府》⑥《窦娥冤》⑦《孔雀东南飞》

假定a=3，下列程序的运行结果是()。#includeintfun(intn)；voidmain(){couta；result=fun(a)；cout

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关于应税消费品销售数量的确定，下列说法中正确的有(　　　)。