2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。 (Ⅰ)求常数a，b的值； (Ⅱ)求正交变换矩阵； (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型

admin2021-01-28  63
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-2x12-2x13-2a2x22(a＜0)通过正交变换化为标准型2y12+2y22+by32。
    (Ⅰ)求常数a，b的值；
    (Ⅱ)求正交变换矩阵；
    (Ⅲ)当｜X｜-1时，求二次型的最大值。
选项
答案(Ⅰ)令[*]，则f(x1，x2，x3)=XTAX 因为二次型经过正交变化为2y12+2y22+by32，所以矩阵A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=b， 由特征值的性质得[*]解得a=-1，b=-1。 (Ⅱ)当λ1=λ2=2时，由(2E-A)X=0得ζ1=[*]，ζ2=[*]； 当λ3=-1时，由(-E-A)X=0，得ζ1=[*]。 [*] (Ⅲ)因为Q为正交矩阵，所以‖X‖=1时，‖Y‖=1，当‖Y‖=1时，二次型的最大值为2。
解析
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考研数学三

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