设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则随机变量Z=Y-X的概率密度fZ(z)= ( )

admin2019-02-23  43

问题 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),则随机变量Z=Y-X的概率密度fZ(z)=    (    )

选项 A、∫-∞+∞f(x,z-x)dx
B、∫-∞+∞f(x,x-z)dx
C、∫-∞+∞f(x,z+x)dx
D、∫-∞+∞f(-x,z+x)dx

答案C

解析 记Z的分布函数为FZ(z),则
FZ(z)=P{Z≤z}=P(Y-X≤z}=

=∫-∞+∞dx∫-∞+∞f(x,y)dy,    ①
其中Dz={(x,y)|y-x≤z),如图3—4所示的阴影部分.


-∞+∞f(x,y)dy-∞z(x,u+x)du.    ②
将②代入①得
FZ(z)=∫-∞+∞dx∫-∞zf(x,u+x)du=∫-∞zdu∫-∞+∞f(x,u+x)dx.
于是fZ(z)=
=∫-∞+∞f(x,z+x)dx.因此本题选C.
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