设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,求证:β,β+α1,…,β+αt线性无关.

admin2017-11-13  34

问题 设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,求证:β,β+α1,…,β+αt线性无关.

选项

答案设有一组数k0,k1,…,kt,使得 k0β+k1(β+α1)+…+kt(β+αt)=0, 即 (k0+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0, (*) 用矩阵A左乘上式两端,得 (k0+k1+…+kt)Aβ=0, 因Aβ≠0,得k0+k1+…+kt=0,代入(*)式,得 k1α1+…+ktαt=0,因基础解系α1)+…+kt线性无关,得k1=…=kt=0,代入k0+k1+…+kt=0,得k0=0,所以,向量组β,β+α1,…,β+αt线性无关.

解析
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