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设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,求证:β,β+α1,…,β+αt线性无关.
设向量组α1,α2,…,αt是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,求证:β,β+α1,…,β+αt线性无关.
admin
2017-11-13
60
问题
设向量组α
1
,α
2
,…,α
t
是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,向量β不是方程组Ax=0的解,即Aβ≠0,求证:β,β+α
1
,…,β+α
t
线性无关.
选项
答案
设有一组数k
0
,k
1
,…,k
t
,使得 k
0
β+k
1
(β+α
1
)+…+k
t
(β+α
t
)=0, 即 (k
0
+k
1
+…+k
t
)β+k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0, (*) 用矩阵A左乘上式两端,得 (k
0
+k
1
+…+k
t
)Aβ=0, 因Aβ≠0,得k
0
+k
1
+…+k
t
=0,代入(*)式,得 k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0,因基础解系α
1
)+…+k
t
线性无关,得k
1
=…=k
t
=0,代入k
0
+k
1
+…+k
t
=0,得k
0
=0,所以,向量组β,β+α
1
,…,β+α
t
线性无关.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/HVr4777K
0
考研数学一
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