2. 考研
  3. 设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S=S(a)的表达式； (Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?

设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)． (Ⅰ)求S=S(a)的表达式； (Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?

admin2016-03-26  63
问题 设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a2)(a＞0)．
    (Ⅰ)求S=S(a)的表达式；
    (Ⅱ)当口取何值时，面积S(a)最小?
选项
答案(Ⅰ)设另一个切点为(x0，[*])，则抛物线y=x2的两条切线分别为 L1:y=2ax一a2，L2:y=2x0x—[*] 因为L1⊥L2，所以x0=一[*]，两条切线L1，L2的交点为x1=[*]，y1=ax0，L1，L2及抛物线y=x2所围成的面积为 S(a)=[*]dx+[*][x2一a2]dx =[*] (Ⅱ)令S’(a)=[*](a+[*])2(1一[*])=0，得a=[*]，因为当a∈(0，[*])时，S’(a)＜0，当a＞[*]时，S’(a)＞0，所以当a=[*]时，面积S(a)取最小值．
解析
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考研数学三

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