设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．

admin2022-10-12 65

问题设f(x)在[0，2]上可导，且｜f’(x)｜≤M，又f(x)在(0，2)内至少有一个零点，证明：｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．

选项

答案由题意，存在c∈(0，2)，使得f(c)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξ₁∈(0，c)，ξ₂∈(c，2)，使得f(c)-f(0)=f’(ξ₁)c，f(2)-f(c)=f’(ξ₂)(2-c)，于是｜f(0)｜=｜f’(ξ₁)｜c≤Mc，｜f(2)｜=｜f’(ξ₂)｜(2-c)≤M(2-c)，故｜f(0)｜+｜f(2)｜≤2M．

解析

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考研数学三

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