设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2020-02-27 40

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型x^TAx的规范形．
②证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求|B|．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一l(n一k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

考研数学三

设矩阵A=，矩阵B满足ABA=2BA+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=________．

一4π

设随机变量(X，Y)的概率密度为则常数k=______．

设连续型随机变量X的所有可能值在区间[a，b]之内，证明：a≤EX≤b；

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设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)＝a＜b－f(b)．证明：存在ξ1∈(a，b)(i＝1，2，…，n)，使得＝1．

(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)．(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且=A,则f+’(0)存

设α=（1，一1，a）T，β=（1，a，2）T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是________。

设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。

设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则

若对某疾病进行流行病学的研究，选用病例对照调查。研究中应注意混杂因素的影响，混杂因素是指

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根据《中华人民共和国劳动法》的规定，关于用人单位与劳动者之间劳动争议的解决，以下说法正确的是(　　)。

根据费雪效应，一国通货膨胀率上升，该国名义利率及货币对外价值的变化为(

号称“中国17世纪的工艺百科全书”的是()。

一个字符的标准ASCII码码长是（）。

WhyareAmericanbillsorpapermoneyunlikethatinmanyothercountries?

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