设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2020-02-27 72

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=E，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型x^TAx的规范形．
②证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求|B|．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和一1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重)，从而A的特征值是1(k重)和一l(n一k重)．A的正，负关系惯性指数分别为k和n一k，x^TAx的规范形为y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²． ②B是实对称矩阵．由A²=E，有B=3E+2A，B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数．因此B是正定矩阵．

解析

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考研数学三

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=E，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

考研数学三

[]|A|=1，|B|=（2—1）（3—1）（3—2）=2，所以A，B均可逆，则也可逆。由AA=AA=|A|E可得|A|=|A|2—1=1，同理可得|B*|=|B|3—1=4，且

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