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设A为n阶实对称矩阵,满足A2=E,并且r(A+E)=k<n. ①求二次型xTAx的规范形. ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求|B|.
设A为n阶实对称矩阵,满足A2=E,并且r(A+E)=k<n. ①求二次型xTAx的规范形. ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵,并求|B|.
admin
2020-02-27
63
问题
设A为n阶实对称矩阵,满足A
2
=E,并且r(A+E)=k<n.
①求二次型x
T
Ax的规范形.
②证明B=E+A+A
2
+A
3
+A
4
是正定矩阵,并求|B|.
选项
答案
①由于A
2
=E,A的特征值λ应满足λ
2
=1,即只能是1和一1.于是A+E的特征值只能是2和0.A+E也为实对称矩阵,它相似于对角矩阵Λ,Λ的秩等于r(A+E)=k.于是A+E的特征值是2(k重)和0(n一k重),从而A的特征值是1(k重)和一l(n一k重).A的正,负关系惯性指数分别为k和n一k,x
T
Ax的规范形为y
1
2
+y
2
2
+…+y
k
2
一y
k+1
2
一…一y
n
2
. ②B是实对称矩阵.由A
2
=E,有B=3E+2A,B的特征值为5(k重)和1(n一k重)都是正数.因此B是正定矩阵.
解析
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考研数学三
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