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  3. 设A是3阶矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则A相似于对角矩阵A，其中A=_______．

设A是3阶矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则A相似于对角矩阵A，其中A=_______．

admin2019-02-23  64
问题 设A是3阶矩阵，α，β是线性无关的3维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则A相似于对角矩阵A，其中A=_______．
选项
答案[*]
解析 由题设条件｜A｜=0知，A有特征值λ1=0．又Aα=β，Aβ=α，则
    A(α+β)=β+α=α+β，  A(α-β)=β-α=-(α-β)，
因α，β为线性无关向量，故α+β≠0，α-β≠0．故A有特征值λ2=1，λ3=-1．
因为A有3个不同的特征值，所以A相似于对角矩阵A，且A=
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考研数学一

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