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设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫01φ(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证: (Ⅰ)∫0xφ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界. (Ⅱ)令an=∫01f(x)φ(nx)dx
设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫01φ(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证: (Ⅰ)∫0xφ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界. (Ⅱ)令an=∫01f(x)φ(nx)dx
admin
2017-11-23
39
问题
设函数φ(x)在(一∞,+∞)连续,是周期为1的周期函数,∫
0
1
φ(x)dx=0,函数f(x)在[0,1]有连续导数,求证:
(Ⅰ)∫
0
x
φ(t)dt是以1为周期的周期函数且在(一∞,+∞)有界.
(Ⅱ)令a
n
=∫
0
1
f(x)φ(nx)dx,则a
n
=一∫
0
1
f’(x)[∫
0
x
φ(nt)dt]dx
(Ⅲ)级数
收敛.
选项
答案
(Ⅰ)考察 ∫
0
x+1
φ(t)dt一∫
0
x
(t)dt=∫
x
x+1
φ(t)dt=∫
0
1
φ(t)dt=0 (因为(∫
x
x+1
φ(t)dt)’=φ(x+1)一φ(x)=0,∫
x
x+1
φ(t)dt为常数) 因此∫
0
x
φ(t)dt以1为周期. 因为∫
0
x
φ(t)dt在(一∞,+∞)连续=>∫
0
x
φ(t)dt在[0,1]有界,又它以1为周期=>∫
0
x
φ(t)dt 在(一∞,+∞)有界. (Ⅱ)按要证明的结论提示我们,用分部积分法改写a
n
: a
n
=∫
0
1
f(x)d(∫
0
x
φ(nt)dt) =(f(x)∫
0
x
φ(nt)dt)|
0
1
一∫
0
x
f’(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx =一∫
0
x
f’(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx 其中 [*] (Ⅲ)先估计a
n
. |a
n
|≤|∫
0
1
f’(x)(∫
0
x
φ(nt)dt)dx| 因f’(x)在[0,1]连续,=>|f’(x)|≤M
0
(x∈[0,1]),又因 |∫
0
x
φ(nt)dt|=[*]|∫
0
nx
φ(s)ds| ∫
0
x
φ(s)ds在(一∞,+∞)有界(题(Ⅰ)的结论)=> |∫
0
x
φ(nt)dt|≤[*] M
0
,M
2
,为某常数. 于是 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/c8r4777K
0
考研数学一
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