在微分方程χ=2y-χ的一切解中求一个解y=y(χ),使得曲线y=y(χ)与直线χ=1,χ=2及y=0所围成的平面图形绕y=0旋转一周的旋转体体积最小。

admin2017-11-30  49

问题 在微分方程χ=2y-χ的一切解中求一个解y=y(χ),使得曲线y=y(χ)与直线χ=1,χ=2及y=0所围成的平面图形绕y=0旋转一周的旋转体体积最小。

选项

答案原方程可化为 [*] 这是一阶线性微分方程,由通解公式知 y=[*]=χ+Cχ2。 由曲线y=χ+Cχ2与直线χ=1,χ=2及y=0所围成平面图形绕χ轴旋转一周的旋转体体积为 V(C)=∫12π(χ+Cχ2)2dχ=[*] 令V′(C)=π([*])=0,解得C==-[*]。 又V〞(C)=[*]>0,故C=-[*]是唯一极小值点,也是最小值点。 所以y=χ-[*]χ2

解析
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