在微分方程χ＝2y－χ的一切解中求一个解y＝y(χ)，使得曲线y＝y(χ)与直线χ＝1，χ＝2及y＝0所围成的平面图形绕y＝0旋转一周的旋转体体积最小。

admin2017-11-30 55

问题在微分方程χ

＝2y－χ的一切解中求一个解y＝y(χ)，使得曲线y＝y(χ)与直线χ＝1，χ＝2及y＝0所围成的平面图形绕y＝0旋转一周的旋转体体积最小。

选项

答案原方程可化为 [*] 这是一阶线性微分方程，由通解公式知 y＝[*]＝χ＋Cχ²。由曲线y＝χ＋Cχ²与直线χ＝1，χ＝2及y＝0所围成平面图形绕χ轴旋转一周的旋转体体积为 V(C)＝∫₁²π(χ＋Cχ²)²dχ＝[*] 令V′(C)＝π([*])＝0，解得C=＝－[*]。又V〞(C)＝[*]＞0，故C＝－[*]是唯一极小值点，也是最小值点。所以y＝χ－[*]χ²

解析

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