设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明:|∫02f(x)dx|≤2.

admin2019-09-04  39

问题 设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内可导,f(0)=f(2)=0,且|f’(x)|≤2.证明:|∫02f(x)dx|≤2.

选项

答案由微分中值定理得f(x)-f(0)=f’(ξ1)x,其中0<ξ1<x, f(x)-f(2)=f’(ξ2)(x-2),其中x<ξ2<2, 于是 [*] 从而|∫02f(x)dx|≤∫02|f(x)|dx=∫01|f(x)|dx+∫12|f(x)|dx≤∫012xdx+∫122(2-x)dx=2.

解析
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