设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（一1，2，一1）T，α2=（0，一1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。

admin2019-08-06 55

问题设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α₁=（一1，2，一1）^T，α₂=（0，一1，1）^T是线性方程组Ax=0的两个解。
（Ⅰ）求A的特征值与特征向量；
（Ⅱ）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得Q^TAQ=Λ。

选项

答案（Ⅰ）因为矩阵A的各行元素之和均为3，所以有 [*] 则λ=3是矩阵A的特征值，α=（1，1，1）^T是对应的特征向量。对应λ=3的全部特征向量为kα=k（1，1，1）^T，其中k是不为零的常数。又由题设知Aα₁=0，Aα₂=0，即Aα₁=0．α₁，Aα₂=0．α₂，而且α₁，α₂线性无关，所以λ=0是矩阵A的二重特征值，α₁，α₂是其对应的特征向量，因此对应λ=0的全部特征向量为 k₁α₁+k₂α₂=k₁（一1，2，一1）^T+k₂（0，一1，1）^T，其中k₁，k₂是不全为零的常数。（Ⅱ）因为A是实对称矩阵，所以α与α₁，α₂正交，只需将α₁与α₂正交化。由施密特正交化法，取 β₁=α₁，β₂=α₂一[*] 再将α，β₁，β₂单位化，得 [*] 令Q=（η₁，η₂，η₃），则Q^—1=Q^T，且 [*]

解析

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考研数学三

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设f(x)在x=x0的邻域内连续，在x=x0的去心邻域内可导，且证明：f’(x0)=M．

设A是m×n阶矩阵，且非齐次线性方程组AX=b满足r(A)=r(A)=r＜n．证明：方程组AX=b的线性无关的解向量的个数最多是n－r+1个．

设矩阵A=(α1，α2，α3，α4)经行初等变换为矩阵B=(β1，β2，β3，β4)，且α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，则()．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0．f’+(a)f’－(b)＞0，且g(x)≠0(x∈[a，b])，g’’(x)≠0(a＜x＜b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得

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已知微分方程y"+(x+e2y)(y’)3=0．若把y看成自变量，x看成函数，则方程化成什么形式?

将三封信随机地投入编号为1，2，3，4的四个邮箱，求没有信的邮箱数X的概率函数．

设u=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx确定了函数u=u(x)，其中f，φ都有一阶连续偏导数，且．

(1999年)设有微分方程y’一2y=φ(x)，其中试求在(一∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(一∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．

设X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，且X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求(1)未知参数θ的最大似然估计量；(2)未知参数θ的矩估计量；(3)当样本值

骨盆环由下列哪些结构组成

患者积块软而不坚，固定不移，胀与痛并存，舌苔薄，脉沉实。其证候是

男，78岁。戴全口义齿10年，因进食疼痛、不适1个月就诊。检查：上腭义齿承托区相对应的黏膜充血．上腭义齿基托黏膜面涂片见白念菌菌丝，该患者治疗中不应使用的药物为

以下治理痛风的药物中，能抑制尿酸生成的是

HBsAg(+)，HBeAg(+)说明此病人()。

下列各项中，应列入利润表“资产减值损失”项目的有()。

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学生把自己的考试成绩差的原因归为试题太难太偏，这种归属属于()

在第15题的程序测试中，若测试采用测试用例：(a，b，c)=(1，1，-1)、(1，1，1)，(-1，1，1)、(0，1，1)，那么，可以实现的逻辑覆盖是______。

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