在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

admin2016-09-30 93

问题在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

选项

答案设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 Y一y=[*](X—x)(y’≠0) 令Y=0，得X=x+yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*] 即yy"=1+y^’2．令y’=p，则y"=[*] 两边积分得y=[*]+C₁，由y(1)=1，y’(1)=0得C₁=0，所以y’=[*] 变量分离得[*]=±dx，两边积分得[*]=±x+C₂，由y(1)=1得C₂=[*]1， [*] 两式相加得 [*]

解析

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考研数学三

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在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

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