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在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
admin
2016-09-30
115
问题
在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
选项
答案
设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为 Y一y=[*](X—x)(y’≠0) 令Y=0,得X=x+yy’,该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*] 即yy"=1+y
’2
. 令y’=p,则y"=[*] 两边积分得y=[*]+C
1
,由y(1)=1,y’(1)=0得C
1
=0,所以y’=[*] 变量分离得[*]=±dx,两边积分得[*]=±x+C
2
,由y(1)=1得C
2
=[*]1, [*] 两式相加得 [*]
解析
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考研数学三
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