设f(χ)在[0，1]上连续，f(1)≠0，∫01f(χ)dχ＝0，则Ф(χ)＝χf(χ)＋∫0χf(t)dt出在闭区间[0，1]上( )．

admin2017-11-09 66

问题设f(χ)在[0，1]上连续，f(1)≠0，∫₀¹f(χ)dχ＝0，则Ф(χ)＝χf(χ)＋∫₀^χf(t)dt出在闭区间[0，1]上( )．

选项 A、必定没有零点
B、有且仅有一个零点
C、至少有两个零点
D、有无零点无法确定

答案C

解析易见，Ф(0)＝0，不选A．
令F(χ)＝χ∫₀^χf(t)dt，则F(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F′K(χ)＝χf(χ)＋∫₀^χf(t)dt，并且F(0)＝F(1)＝0，由罗尔中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F′(ξ)＝0，即ξf(ξ)＋∫₀^ξf(t)dt＝0，可见，χ＝ξ∈(0，1)是Ф(χ)的零点．
故应选C．

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考研数学三

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