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设A=(aii)n×n,且A2-3A+2E=0,证明:矩阵A可相似对角化.
设A=(aii)n×n,且A2-3A+2E=0,证明:矩阵A可相似对角化.
admin
2020-06-05
32
问题
设A=(a
ii
)
n×n
,且A
2
-3A+2E=0,证明:矩阵A可相似对角化.
选项
答案
设λ为矩阵A的特征值,p为对应的特征向量.那么由已知条件A
2
-3A+2E=0, 得(A
2
-3A+2E)p=0,即λ
2
-3λ+2=0,故λ
1
=1或2. 又由A
2
-3A+2E=(A-2E)(A-E)=0,得 R(A-2E)+R(A-E)≤n 又 R(A-2E)+R(A-E)=R(2E-A)+r(A-E)≥r(2E+A+A-E)=R(E)=n 故 R(A-2E)+R(A-E)=n 由方程组(A-2E)x=0的线性无关的解的个数为n-R(A-2E),方程组(A-E)x=0的线性无关的解的个数为n-R(A-E).因此A的线性无关的特征向量的个数为 n-R(2E-A)+n-R(A-E)=2n-n=n 故A可对角化.
解析
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考研数学一
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