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  3. 设A＝(aii)n×n，且A2－3A＋2E＝0，证明：矩阵A可相似对角化．

设A＝(aii)n×n，且A2－3A＋2E＝0，证明：矩阵A可相似对角化．

admin2020-06-05  33
问题 设A＝(aii)n×n，且A2－3A＋2E＝0，证明：矩阵A可相似对角化．
选项
答案设λ为矩阵A的特征值，p为对应的特征向量．那么由已知条件A2－3A＋2E＝0， 得(A2－3A＋2E)p＝0，即λ2－3λ＋2＝0，故λ1＝1或2． 又由A2－3A＋2E＝(A－2E)(A－E)＝0，得 R(A－2E)＋R(A－E)≤n 又 R(A－2E)＋R(A－E)＝R(2E－A)＋r(A－E)≥r(2E＋A＋A－E)＝R(E)＝n 故 R(A－2E)＋R(A－E)＝n 由方程组(A－2E)x＝0的线性无关的解的个数为n－R(A－2E)，方程组(A－E)x＝0的线性无关的解的个数为n－R(A－E)．因此A的线性无关的特征向量的个数为 n－R(2E－A)＋n－R(A－E)＝2n－n＝n 故A可对角化．
解析
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考研数学一

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