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  3. 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P—1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q—1AQ= ( )

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P—1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q—1AQ= ( )

admin2019-01-14  22
问题 设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P—1AP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q—1AQ=   (    )
选项 A、 
B、 
C、 
D、 
答案B
解析 由已知A相似于对角矩阵diag(1，1，2)，知α1，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2．α1+α2≠O(否则α1，α2线性相关，与α1，α2，α3线性无关矛盾)，且A(α1+α2)=Aα1+Aα2=α1+α2，因此α1+α2是A的属于特征值1的一个特征向量．
    从而知α1+α1，α2，α3是A的3个线性无关特征向量，且依次属于特征值1，1，2，因此利用矩阵相似对角化可写出
    (α1+α1，α2，α3)—1A(α1+α1，α2，α3)=diag(1，1，2)，即Q—1AQ=diag(1，1，2)．因此选(B)．
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考研数学一

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