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  3. [2004年] 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

[2004年] 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．

admin2019-05-10  55
问题 [2004年]  设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解?并求出其通解．
选项
答案 确定参数a的取值使所给方程组有非零解，可用两法确定．一是用初等行变换法将其系数矩阵化为阶梯形，由其秩小于3，确定a的取值；另一种方法就是由其系数行列式为零确定之，这时可得到a的两个取值，对每一个取值都要讨论． 解一 方程组的系数矩阵A为列和相等的行列式,因而 [*] 当∣A∣=0即a=0或a=一10时，方程组有非零解． 当a=0时，A→[*]，易求得其通解为 X=k1[一1，1，0，0]T+k2[一1，0，1，0]T+k3[一1，0，0，1]T． 当a=一10时，[*] 因而秩(A)=3＜n=4，方程组有非零解．基础解系只含一个解向量α=[1，2，3，4]T，其通解为 X一kα=k[1，2，3，4]T(是为任意常数)． 解二 用初等行变换解之．对其系数矩阵施行初等行变换，得到 [*] 当a=0时，秩(A)=1＜4=n，方程组有非零解，其一个基础解系含r=n－秩(A)=4—1=3个解向量： α1=[一1，1，0，0]T， α2=[一1，0，1，0]T， α3=[一1，0，0，1]T． 方程的通解为X=k1α1+k2α2+k3α3，k1，k2，k3为任意常数． 当a≠0时，有A1→[*] 当a=一10时，有A1→[*] 秩(A)=秩(A1)=3，一个基础解系只含一个解向量α=[1，2，3，4]T，方程组的通解为X=kα(k为任意常数)．
解析
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考研数学二

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