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[2004年] 设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
[2004年] 设有齐次线性方程组 试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
admin
2019-05-10
56
问题
[2004年] 设有齐次线性方程组
试问a取何值时,该方程组有非零解?并求出其通解.
选项
答案
确定参数a的取值使所给方程组有非零解,可用两法确定.一是用初等行变换法将其系数矩阵化为阶梯形,由其秩小于3,确定a的取值;另一种方法就是由其系数行列式为零确定之,这时可得到a的两个取值,对每一个取值都要讨论. 解一 方程组的系数矩阵A为列和相等的行列式,因而 [*] 当∣A∣=0即a=0或a=一10时,方程组有非零解. 当a=0时,A→[*],易求得其通解为 X=k
1
[一1,1,0,0]
T
+k
2
[一1,0,1,0]
T
+k
3
[一1,0,0,1]
T
. 当a=一10时,[*] 因而秩(A)=3<n=4,方程组有非零解.基础解系只含一个解向量α=[1,2,3,4]
T
,其通解为 X一kα=k[1,2,3,4]
T
(是为任意常数). 解二 用初等行变换解之.对其系数矩阵施行初等行变换,得到 [*] 当a=0时,秩(A)=1<4=n,方程组有非零解,其一个基础解系含r=n-秩(A)=4—1=3个解向量: α
1
=[一1,1,0,0]
T
, α
2
=[一1,0,1,0]
T
, α
3
=[一1,0,0,1]
T
. 方程的通解为X=k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
,k
1
,k
2
,k
3
为任意常数. 当a≠0时,有A
1
→[*] 当a=一10时,有A
1
→[*] 秩(A)=秩(A
1
)=3,一个基础解系只含一个解向量α=[1,2,3,4]
T
,方程组的通解为X=kα(k为任意常数).
解析
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考研数学二
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