设f(χ),g(χ)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明: ∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ.

admin2017-09-15  30

问题 设f(χ),g(χ)为[a,b]上连续的增函数(0<a<b),证明:
    ∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ.

选项

答案令F(χ,y)=[f(χ)-f(y)][g(χ)-g(y)],D={(χ,y)|a≤χ≤b,a≤y≤b}, 因为f(χ),g(χ)在[a,b]上为增函数,所以F(χ,y)≥0,从而∫abdχ∫abF(χ,y)dy≥0, 而∫abdχ∫abF(χ,y)dy=∫abdχ∫ab[f(χ)g(χ)-f(χ)g(y)-f(y)g(χ)+f(y)g(y)]dy =(b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ-∫abf(χ)dχ∫abg(y)dy-∫abg(χ)dχ∫abf(y)dy+(b-a)∫abf(y)g(y)dy =2(b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ-2∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ, 故∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b-a)∫abf(χ)g(χ)dχ.

解析
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