2. 考研
  3. 设f(χ)，g(χ)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明： ∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ．

设f(χ)，g(χ)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明： ∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ．

admin2017-09-15  55
问题 设f(χ)，g(χ)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：
    ∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ．
选项
答案令F(χ，y)＝[f(χ)－f(y)][g(χ)－g(y)]，D＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，a≤y≤b}， 因为f(χ)，g(χ)在[a，b]上为增函数，所以F(χ，y)≥0，从而∫abdχ∫abF(χ，y)dy≥0， 而∫abdχ∫abF(χ，y)dy＝∫abdχ∫ab[f(χ)g(χ)－f(χ)g(y)－f(y)g(χ)＋f(y)g(y)]dy ＝(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ－∫abf(χ)dχ∫abg(y)dy－∫abg(χ)dχ∫abf(y)dy＋(b－a)∫abf(y)g(y)dy ＝2(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ－2∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ， 故∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ≤(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ．
解析
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考研数学二

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