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  3. 设n维向量α1，α2……αs的秩为r，则下列命题正确的是

设n维向量α1，α2……αs的秩为r，则下列命题正确的是

admin2019-07-10  106
问题 设n维向量α1，α2……αs的秩为r，则下列命题正确的是
选项 A、α1，α2……αs任何r—1个向必必线性无关．
B、α1，α2……αs中任何r个向量必线性无关．
C、如果s>n，则α必可由α1，α2……αs线性表示．
D、如果r=n，则任何n维向量必可由α1，α2……αs线性表示．
答案D
解析 r(α1，α2……αs)=rα1，α2……αs中一定存在r个向量线性无关，而任意r+1个向量必线性相关．当向量组的秩为r时，向量组中既可以有r一1个向量线性相关，也可以有r个向量线性相关，故A、B均错误．例如向量α1,α2,α3,α4分别为(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(3，0，0，0)，其秩为3，其中α1,α4线性相关，α1,α2,α4也线性相关．该例说明，4维向量可以有2个向量线性相关，也可以有3个向量线性相关．但肯定有3个向量线性无关．当s>n时，表明α1，α2……αs必线性相关，此时有理由可以由α1，…，αi-1，αi+1…，…，αs线性表示，但αs不一定能由α1，…，αs-1线性表示．故C不正确．若r(α1，α2……αs)=n，则对任何n维向量β必有r(α1，α2……αs，β)=n故D正确．因此应选D．
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考研数学三

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