求解微分方程的初值问题：=(1－y2)tanx,y(0)=2.

admin2022-10-13 57

问题求解微分方程的初值问题：

=(1－y²)tanx,y(0)=2.

选项

答案因微分方程是可分离变量的，故有 [*] 积分后得[*]+lncos²x=lnC₁,因题给出的初值条件是x=0时y=2,则根据常微分方程初值问题解的存在唯一性定理，不妨设y＞1,于是原微分方程在x=0附近存在通解 [*] 其中C是不为零的任意常数，把x=0,y=2代入上式可得C=3. 因此所求的特解为 (y+1)cos²x=3(y－1),即[*]

解析

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[*]
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已知y=y(x)是微分方程(x2+y2)dy=dx－dy的任意解，并在y=y(x)的定义域内取x0，记y0=y(x0)．证明：(1)y(x)＜y0－arctanx0；(2)均存在．
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