2. 考研
  3. 设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。 （Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）； （Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。

设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。 （Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）； （Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。

admin2020-03-10  77
问题 设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且 2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。
（Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；
（Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。
选项
答案（Ⅰ）设F（x）= ∫0xf（t）dt，x∈[0，3] 。由于f（x）在[0，3]上连续，从而可知F（x）在[0，3]上可导。由拉格朗日中值定理可知F（2） — F（0）=F’（η）（2—0），η∈（0，2），所以∫02f（x）dx=2f（η），又因为2f （0）=∫02f（x）dx，所以f（η）=f（0）。 （Ⅱ）因f（2）+f（3）=2f（0），即[*]= f（0），又因为f（x）在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η1∈[2，3]使得f（η1）=f（0）。 因f（x）在[0，η]上连续，在（0，η）上可导，且f（0）=f（η），由罗尔定理知，存在ξ1∈（0，η），有f’（ξ1）= 0。 又因为f（x）在[η，η1]上是连续的，在（η，η1）上是可导的，且满足f（η）=f（0）=f（η1），由罗尔定理知，存在ξ2∈（η，η1），有f’（ξ2）=0。 又因为f（x）在[ξ1，ξ2]上是二阶可导的，且f’（ξ1）=f’（ξ2）=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈（ξ1，ξ2），使得f"（ξ）=0。
解析
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考研数学三

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