首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3)。 (Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0); (Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
admin
2020-03-10
76
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3)。
(Ⅰ)证明存在η∈(0,2),使f(η)=f(0);
(Ⅱ)证明存在ξ∈(0,3),使f"(ξ)=0。
选项
答案
(Ⅰ)设F(x)= ∫
0
x
f(t)dt,x∈[0,3] 。由于f(x)在[0,3]上连续,从而可知F(x)在[0,3]上可导。由拉格朗日中值定理可知F(2) — F(0)=F’(η)(2—0),η∈(0,2),所以∫
0
2
f(x)dx=2f(η),又因为2f (0)=∫
0
2
f(x)dx,所以f(η)=f(0)。 (Ⅱ)因f(2)+f(3)=2f(0),即[*]= f(0),又因为f(x)在[2,3]上连续,由介值定理知,至少存在一点η
1
∈[2,3]使得f(η
1
)=f(0)。 因f(x)在[0,η]上连续,在(0,η)上可导,且f(0)=f(η),由罗尔定理知,存在ξ
1
∈(0,η),有f’(ξ
1
)= 0。 又因为f(x)在[η,η
1
]上是连续的,在(η,η
1
)上是可导的,且满足f(η)=f(0)=f(η
1
),由罗尔定理知,存在ξ
2
∈(η,η
1
),有f’(ξ
2
)=0。 又因为f(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上是二阶可导的,且f’(ξ
1
)=f’(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,至少存在一点ξ∈(ξ
1
,ξ
2
),使得f"(ξ)=0。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/byD4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
设A,B均为n阶矩阵,A可逆且A~B,则下列命题中:①AB~BA;②A2~B2;③AT~BT;④A-1~B-1.正确的个数为()
设un=则级数()
设函数f(x)在区间[a,+∞)内连续,且当x>a时,f’(x)>l>0,其中l为常数,若f(A)<0,则在区间内方程f(x)=0的实根个数为()
函数y=xx在区间上()
函数试判定其在点(0,0)处的可微性。
曲面2+y2=25,z=6-x-y,z=0所围成的立体图形的体积是__________。
在微分方程的通解中求一个特解y=y(x)(x>0),使得曲线y=y(x)与直线x=1,x=2及y=0所围平面图形绕x轴旋转一周的旋转体体积最小。
n为自然数,证明:
计算下列积分:(1)∫-12[x]max{1,e-x}dx,其中,[x]表示不超过x的最大整数.(2)∫03(|x-1|+|x-2|)dx.(3)设求∫13f(x-2)dx.(4)已知求∫2n2n+2f(x-2n)e-xdx,n=2,3,….
设f(t)=arctan(1+x2+y2)dxdy,则f(t)/(et-1-t)为()。
随机试题
我国青光眼常见类型是
污染物随着污水排放河流后,()。
某些气体即使在没有氧气的条件下也能发生爆炸。其实这是一种分解爆炸,下列气体中,属于分解爆炸性气体的是()。
企业获得的捐赠利得应该记入营业外收入中,影响利润总额。()
辅助账簿也称备查账簿,是为备忘备查而设置的账簿。在实际会计实务中,主要包括()等。
根据我国法律规定,下列各项中可以作为合伙人出资形式的是()。
某肉食加工厂与某养猪大户签订合同,约定以现行市场价格加上一定的价格预期涨幅购买该养猪大户饲养的优良种猪,并于一年后结付所有款项。货币在这里执行的职能是()。
n维列向量组α1,…,αn-1线性无关,且与非零向量β正交.证明:α1,…,αn-1,β线性无关.
以下关于控件数组的叙述中,错误的是
DoIhaveFreeWill?AfterconsideringtheevidenceforthethreeviewsIhaveconcludedthatsoftdeterminismisbest【S1】______
最新回复
(
0
)