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设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(a=0,f(b)0.证明:存在ξ∈(a,6),使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0; (Ⅱ)若f(a)=f(b)==0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(a=0,f(b)0.证明:存在ξ∈(a,6),使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0; (Ⅱ)若f(a)=f(b)==0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).
admin
2020-02-27
67
问题
设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导.
(Ⅰ)若f(a=0,f(b)<0,f
﹢
’
(a)>0.证明:存在ξ∈(a,6),使得f(ξ)f
’’
(ξ)+f
’2
(ξ)=0;
(Ⅱ)若f(a)=f(b)=
=0,证明:存在η∈(a,b),使得f
’’
(η)=f(η).
选项
答案
(Ⅰ)因为f
﹢
’
(a)>0,所以存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为f(c)f(b)<0,所以存在x
0
∈(c, b),使得f(x
0
)=0;因为f(a)=f(x
0
)=0;由罗尔定理,存在x
1
∈(a,x
0
),使得f
’
(x
1
)=0.令φ(x)=f(x)f
’
(x),由φ(a)=φ(x
1
)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,x
1
)[*](a,b),使得φ
’
(ξ)=0.而φ
’
(x)=f (x)f
’’
+f
’2
(x),所以f(ξ)f
’’
(ξ)+f
’2
(ξ)=0. (Ⅱ)令F(x)=[*],因为F(a)-F(b)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F
’
(c)=0,即f(c)=0.令h(x)=e
x
f(x),由h(a)=h(c)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(a,c),ξ
2
∈(c,b),使得h
’
(ξ
1
)=h
’
(ξ
2
)=0,则h
’
(x)=e
x
[f(x)+f
’
(x)],所以f(ξ
1
)+f
’
(ξ
1
)=0,f(ξ
2
)+f
’
(ξ
2
)=0.再令G(x)=e
﹣x
[f(x)+f
’
(x)],由G(ξ
1
)=G(ξ
2
)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](a,6),使得G
’
(η)=0,而G
’
(x)=e
﹣x
[f
’’
(x)-f(x)]且e
﹣x
≠0,所以f
’’
(η)=f(η).
解析
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考研数学三
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