设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导. (Ⅰ)若f(a=0,f(b)0.证明:存在ξ∈(a,6),使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0; (Ⅱ)若f(a)=f(b)==0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).

admin2020-02-27  41

问题 设f(x)∈C[a,b],在(a,b)内二阶可导.
(Ⅰ)若f(a=0,f(b)<0,f(a)>0.证明:存在ξ∈(a,6),使得f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0;
(Ⅱ)若f(a)=f(b)==0,证明:存在η∈(a,b),使得f’’(η)=f(η).

选项

答案(Ⅰ)因为f(a)>0,所以存在c∈(a,b),使得f(c)>f(a)=0,因为f(c)f(b)<0,所以存在x0∈(c, b),使得f(x0)=0;因为f(a)=f(x0)=0;由罗尔定理,存在x1∈(a,x0),使得f(x1)=0.令φ(x)=f(x)f(x),由φ(a)=φ(x1)=0,根据罗尔定理,存在ξ∈(a,x1)[*](a,b),使得φ(ξ)=0.而φ(x)=f (x)f’’+f’2(x),所以f(ξ)f’’(ξ)+f’2(ξ)=0. (Ⅱ)令F(x)=[*],因为F(a)-F(b)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得F (c)=0,即f(c)=0.令h(x)=exf(x),由h(a)=h(c)=h(b)=0,根据罗尔定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得h1)=h2)=0,则h (x)=ex [f(x)+f (x)],所以f(ξ1)+f1)=0,f(ξ2)+f2)=0.再令G(x)=e﹣x[f(x)+f(x)],由G(ξ1)=G(ξ2)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ξ1,ξ2)[*](a,6),使得G (η)=0,而G (x)=e﹣x[f’’ (x)-f(x)]且e﹣x≠0,所以f’’ (η)=f(η).

解析
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