2. 考研
  3. 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(a＝0，f(b)0．证明：存在ξ∈(a，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)＋f’2(ξ)＝0； (Ⅱ)若f(a)＝f(b)＝＝0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)＝f(η)．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导． (Ⅰ)若f(a＝0，f(b)0．证明：存在ξ∈(a，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)＋f’2(ξ)＝0； (Ⅱ)若f(a)＝f(b)＝＝0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)＝f(η)．

admin2020-02-27  89
问题 设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导．
(Ⅰ)若f(a＝0，f(b)<0，f﹢’(a)>0．证明：存在ξ∈(a，6)，使得f(ξ)f’’(ξ)＋f’2(ξ)＝0；
(Ⅱ)若f(a)＝f(b)＝＝0，证明：存在η∈(a，b)，使得f’’(η)＝f(η)．
选项
答案(Ⅰ)因为f﹢’(a)>0，所以存在c∈(a，b)，使得f(c)>f(a)＝0，因为f(c)f(b)<0，所以存在x0∈(c, b)，使得f(x0)＝0；因为f(a)＝f(x0)＝0;由罗尔定理，存在x1∈(a，x0)，使得f’(x1)＝0．令φ(x)＝f(x)f’(x)，由φ(a)＝φ(x1)＝0，根据罗尔定理，存在ξ∈(a，x1)[*](a，b)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)=f (x)f’’＋f’2(x)，所以f(ξ)f’’(ξ)＋f’2(ξ)＝0． (Ⅱ)令F(x)＝[*]，因为F(a)－F(b)＝0，所以由罗尔定理，存在c∈(a，b)，使得F’ (c)＝0，即f(c)＝0．令h(x)＝exf(x)，由h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，根据罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’ (ξ1)＝h’ (ξ2)＝0，则h’ (x)＝ex [f(x)＋f’ (x)]，所以f(ξ1)＋f’ (ξ1)＝0，f(ξ2)＋f’ (ξ2)＝0．再令G(x)＝e﹣x[f(x)+f’(x)]，由G(ξ1)＝G(ξ2)＝0，根据罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)[*](a，6)，使得G’ (η)＝0，而G’ (x)＝e﹣x[f’’ (x)－f(x)]且e﹣x≠0，所以f’’ (η)＝f(η)．
解析
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考研数学三

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