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  3. 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．

admin2015-06-30  44
问题 设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．
选项
答案因为f(x)在[0，1]上二阶可导，所以f(x)在[0，1]上连续且f(0)=f(1)=0，[*]由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在[0，1]取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在C∈(0，1)，使得f(c)=-1，再由费马定理知f’(c)=0， 根据泰勒公式 [*] 整理得 [*] 所以存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)≥8．
解析 在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；
若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既未给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开．
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考研数学二

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