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  3. 设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2022-04-02  118
问题 设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
选项
答案方法一 由α1，α2，…，αt线性无关[*]βα1，α2，…，αt线性无关，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+……+kt(β+αt)=0， 即(k+k1+……+kt)β+k1α1+…+ktαt0， ∵β，α1，α2，…，αt线性无关 [*]k=k1=……=kt=0， ∴β，β+α1，……，β+αt线性无关 方法二 令kβ+k1(β＋α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0， [*](k+k1+……+kt)β=-k1α1-……-ktαt， [*](k+k1+……+kt)Aβ=-k1Aα1-……-ktAαt=0， ∵Aβ≠0，∴k+k1+…+kt=0，∴k1α1+…+ktαt=0[*]k=k1=……=kt=0， 所以β，β+α1，……，β+αt线性无关．
解析
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考研数学三

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