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设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
admin
2022-04-02
125
问题
设α
1
，α
2
，…，α
t
为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α
1
，β+α
2
，…，β+α
t
线性无关．
选项
答案
方法一 由α
1
，α
2
，…，α
t
线性无关[*]βα
1
，α
2
，…，α
t
线性无关，令kβ+k
1
(β+α
1
)+k
2
(β+α
2
)+……+k
t
(β+α
t
)=0， 即(k+k
1
+……+k
t
)β+k
1
α
1
+…+k
t
α
t
0， ∵β，α
1
，α
2
，…，α
t
线性无关 [*]k=k
1
=……=k
t
=0， ∴β，β+α
1
，……，β+α
t
线性无关 方法二 令kβ+k
1
(β＋α
1
)+k
2
(β+α
2
)+…+k
t
(β+α
t
)=0， [*](k+k
1
+……+k
t
)β=-k
1
α
1
-……-k
t
α
t
， [*](k+k
1
+……+k
t
)Aβ=-k
1
Aα
1
-……-k
t
Aα
t
=0， ∵Aβ≠0，∴k+k
1
+…+k
t
=0，∴k
1
α
1
+…+k
t
α
t
=0[*]k=k
1
=……=k
t
=0， 所以β，β+α
1
，……，β+α
t
线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/g2R4777K
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考研数学三
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