设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2022-04-02 83

问题设α₁，α₂，…，α_t为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案方法一由α₁，α₂，…，α_t线性无关[*]βα₁，α₂，…，α_t线性无关，令kβ+k₁(β+α₁)+k₂(β+α₂)+……+k_t(β+α_t)=0，即(k+k₁+……+k_t)β+k₁α₁+…+k_tα_t0， ∵β，α₁，α₂，…，α_t线性无关 [*]k=k₁=……=k_t=0， ∴β，β+α₁，……，β+α_t线性无关方法二令kβ+k₁(β＋α₁)+k₂(β+α₂)+…+k_t(β+α_t)=0， [*](k+k₁+……+k_t)β=-k₁α₁-……-k_tα_t， [*](k+k₁+……+k_t)Aβ=-k₁Aα₁-……-k_tAα_t=0， ∵Aβ≠0，∴k+k₁+…+k_t=0，∴k₁α₁+…+k_tα_t=0[*]k=k₁=……=k_t=0，所以β，β+α₁，……，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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