设A是n阶实对称矩阵．证明： (1)存在实数c，使对一切x∈Rn，有|xTAx|≤cxTx． (2)若A正定，则对任意正整数k，Ak也是对称正定矩阵． (3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

admin2017-04-19 33

问题设A是n阶实对称矩阵．证明：
(1)存在实数c，使对一切x∈Rⁿ，有|x^TAx|≤cx^Tx．
(2)若A正定，则对任意正整数k，A^k也是对称正定矩阵．
(3)必可找到一个数a，使A+aE为对称正定矩阵．

选项

答案(1)设A的特征值为λ₁，λ₂，…，λ_n．令c=max{|λ₁|，|λ₂|，…，|λ_n|)，则存在正交变换x=Py，使x^TAx=[*]，且y^Ty=x^Tx，故|x^TAx|=[*]=cy^Ty=cx^Tx． (2)设A的特征值为λ₁

解析

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考研数学一

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