2. 考研
  3. 设α1﹦(2，1，1)T，α2﹦(－1，2，7)T，α3﹦(1，－1，－4)T，若β1﹦(1，2，t﹢1)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2﹦(t，1，O)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则t﹦______。

设α1﹦(2，1，1)T，α2﹦(－1，2，7)T，α3﹦(1，－1，－4)T，若β1﹦(1，2，t﹢1)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2﹦(t，1，O)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则t﹦______。

admin2020-08-03  21
问题 设α1﹦(2，1，1)T，α2﹦(－1，2，7)T，α3﹦(1，－1，－4)T，若β1﹦(1，2，t﹢1)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2﹦(t，1，O)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则t﹦______。
选项
答案4
解析 根据题意，β1可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解；β2不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β2无解。由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即
由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并在一起进行矩阵的初等变换，即

    所以当t﹦4时，方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解，方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β2无解，故t﹦4。
本题考查向量组的线性相关性及线性方程组解的判断。向量β1可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件为非齐次线性方程组x1α1﹢x2α2﹢x3α3﹦β1有解；同理，若不能线性表示，则对应的非齐次线性方程组无解。同时，非齐次线性方程组有解的充分必要条件为系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩；无解的充分必要条件为系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩。
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考研数学一

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