设二次型f（x1，x2，x3）=（x1，x2，x3）已知它的秩为1． ①求x和二次型f（x1，x2，x3）的矩阵． ②作正交变换将f（x1，x2，x3）化为标准二次型．

admin2017-11-22 68

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁，x₂，x₃）

已知它的秩为1．
①求x和二次型f（x₁，x₂，x₃）的矩阵．
②作正交变换将f（x₁，x₂，x₃）化为标准二次型．

选项

答案①二次型的矩阵 [*] 它的秩为1，则a=4． [*] 的秩为1，则特征值为0，0，9．属于0的特征向量即AX=0的非零解，求出此方程组的一个基础解系：α₁=(0，1，1)^T，α₂=(2，0，1)^T，对它们作施密特正交化得 [*] 再求得属于9的一个特征向量α₃=（1，2，—2）^T，作单位化得 η₃=（1/3，2/3，—2/3）^T．令Q=(η₃，η₁，η₂)=[*] 则正交变换X=QY把原二次型化为 9y₁²．

解析

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考研数学三

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证明：，其中a＞0为常数．

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