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  3. 设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0,0)(t，t2)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．

设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0,0)(t，t2)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．

admin2019-01-25  57
问题 设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0,0)(t，t2)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．
选项
答案∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关<=> [*] 积分得 f(x，y)=siny+C(x)． 求f(x，y)转化为求C(x)． f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx =sinydx+xdsiny+d[∫0xC(s)ds]=d[xsiny+∫0xC(s)ds] => [xsiny+∫0xC(s)ds]｜(0，0)(t，t2)=t2， 即tsint2+∫0lC(s)ds=t2 <=> sint2+2t2cost2+C(t)=2t． 因此 f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cos2．
解析
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考研数学一

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