试用配方法化二次型 f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3 为标准形和规范形,写出相应的可逆线性变换矩阵,并求二次型的秩及止、负惯性指数。

admin2018-01-26  39

问题 试用配方法化二次型
    f(x1,x2,x3)=2x12+3x22+x32+4x1x2-4x1x3-8x2x3
为标准形和规范形,写出相应的可逆线性变换矩阵,并求二次型的秩及止、负惯性指数。

选项

答案由于f中含有x1的平方项,故先把含x1的项进行配方,然后再把含x2的项进行配方,依次配方即可。即 f(x1,x2,x3)=2(x12+2x1x2-2x1x3)+3x22+x32-8x2x3 =2(x1+x2-x3)2+x22-4x2x32-x32 =2(x1+x2-x3)2+(x2-x3)2-5x32。 令 [*] 则把二次型f化成了标准形 f(x1,x2,x3)=2y12+y22-5y32。 所用的可逆线性变换矩阵为C=[*],可逆变换为x=Cy。 由以上结论可知,二次型f的规范形为f=z12+z22-z32,二次型的秩R(f)=3,正惯性指数为2,负惯性指数为1。

解析
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