2. 考研
  3. 已知α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。 (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)当a=3时，利用(Ⅱ)的结果，证明α1，α2，

已知α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。 (Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值； (Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4； (Ⅲ)当a=3时，利用(Ⅱ)的结果，证明α1，α2，

admin2018-01-26  64
问题 已知α1=(1，3，5，-1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，-1，7)T。
(Ⅰ)若α1，α2，α3线性相关，求a的值；
(Ⅱ)当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4；
(Ⅲ)当a=3时，利用(Ⅱ)的结果，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个4维列向量。
选项
答案(Ⅰ)α1，α2，α3线性相关[*]秩R(α1，α2，α3)＜3。由于 (α1，α2，α3)= [*] 所以a=-3。 (Ⅱ)设α4=(x1，x2，x3，x4)T。由内积[α1，α4]=0，[α2，α4]=0，[α3，α4]=0，得方程组 [*] 对力程组的系数矩阵作初等变换，即 [*] 于是得同解方程组 [*] 令x4=1，则得基础解系(19，=6，0，1)T， 所以α4=k(19，-6，0，1)T，其中k≠0。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知，a=3时，α1，α2，α3必线性无关，设 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0， 用α4T左乘上式两端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，则有k4α4Tα4=0，又α4≠0，故必有k4=0，于是k1α1+k2α2+k3α3=0。由α1，α2，α3线性无关知，必有k1=0，k2=0，k3=0，从而α1，α2，α3，α4必线性无关。而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出。
解析
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考研数学一

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