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已知α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T。 (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4; (Ⅲ)当a=3时,利用(Ⅱ)的结果,证明α1,α2,
已知α1=(1,3,5,-1)T,α2=(2,7,a,4)T,α3=(5,17,-1,7)T。 (Ⅰ)若α1,α2,α3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与α1,α2,α3都正交的非零向量α4; (Ⅲ)当a=3时,利用(Ⅱ)的结果,证明α1,α2,
admin
2018-01-26
32
问题
已知α
1
=(1,3,5,-1)
T
,α
2
=(2,7,a,4)
T
,α
3
=(5,17,-1,7)
T
。
(Ⅰ)若α
1
,α
2
,α
3
线性相关,求a的值;
(Ⅱ)当a=3时,求与α
1
,α
2
,α
3
都正交的非零向量α
4
;
(Ⅲ)当a=3时,利用(Ⅱ)的结果,证明α
1
,α
2
,α
3
,α
4
可表示任一个4维列向量。
选项
答案
(Ⅰ)α
1
,α
2
,α
3
线性相关[*]秩R(α
1
,α
2
,α
3
)<3。由于 (α
1
,α
2
,α
3
)= [*] 所以a=-3。 (Ⅱ)设α
4
=(x
1
,x
2
,x
3
,x
4
)
T
。由内积[α
1
,α
4
]=0,[α
2
,α
4
]=0,[α
3
,α
4
]=0,得方程组 [*] 对力程组的系数矩阵作初等变换,即 [*] 于是得同解方程组 [*] 令x
4
=1,则得基础解系(19,=6,0,1)
T
, 所以α
4
=k(19,-6,0,1)
T
,其中k≠0。 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,a=3时,α
1
,α
2
,α
3
必线性无关,设 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0, 用α
4
T
左乘上式两端并利用α
4
T
α
1
=α
4
T
α
2
=α
4
T
α
3
=0,则有k
4
α
4
T
α
4
=0,又α
4
≠0,故必有k
4
=0,于是k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0。由α
1
,α
2
,α
3
线性无关知,必有k
1
=0,k
2
=0,k
3
=0,从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性无关。而5个4维列向量必线性相关,因此任一个4维列向量都可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ocr4777K
0
考研数学一
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