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(2000年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)dχ=0,∫0πf(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
(2000年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫0πf(χ)dχ=0,∫0πf(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2,使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
admin
2021-01-19
45
问题
(2000年)设函数f(χ)在[0,π]上连续,且∫
0
π
f(χ)dχ=0,∫
0
π
f(χ)cosχdχ=0.试证明:在(0,π)内至少存在两个不同的点ξ
1
,ξ
2
,使f(ξ
1
)=f(ξ
2
)=0.
选项
答案
令F(χ)=∫
0
χ
f(t)dt 0≤χ≤π 则F(0)=0,F(π)=0,又因为 [*] 所以,存在ξ∈(0,π),使F(ξ)sinξ=0,因若不然,则在(0,π)内或F(χ)sinχ恒为正,或F(χ)sinχ恒为负,均与∫
0
χ
F(χ)sinχdχ=0矛盾,但当ξ∈(0,π)时,sins≠0,故F(ξ)=0. 由以上证得F(0)=F(ξ)=F(π)=0 (0<ξ<π) 再对F(χ)在区间[0,ξ],[ξ,π]上分别用罗尔中值定理,知至少存在ξ
1
∈(0,ξ),ξ
2
∈(ξ,π),使 F′(ξ
1
)=F′(ξ
2
)=0 即f(ξ
1
)=f(
2
)=0
解析
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考研数学二
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