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(2005年)已知函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1.
(2005年)已知函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1.
admin
2019-08-01
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问题
(2005年)已知函数f(χ)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1-ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f′(η)f′(ζ)=1.
选项
答案
(Ⅰ)令g(χ)=f(χ)+χ-1,则g(χ)在[0,1]上连续,且 g(0)=-1<0,g(1)=1>0 所以存在ξ∈(0,1),使得 g(ξ)=f(ξ)+ξ-1=0 即f(ξ)=1-ξ. (Ⅱ)根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*]
解析
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考研数学二
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