某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x1万元及报纸广告费用x2万元之间的关系有如下经验公式： R=15+14x1+32x2－8x1x2－2x12－10x22． (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告

admin2016-09-13 95

问题某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R万元与电台广告费x₁万元及报纸广告费用x₂万元之间的关系有如下经验公式：
R=15+14x₁+32x₂－8x₁x₂－2x₁²－10x₂²．
(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．

选项

答案(1)利润函数为z=f(x₁，x₂)=15+14x₁+32x₂－8x₁x₂－2x₁²－10x₂²－(x₁+x₂) =15+13x₁+31x₂－8x₁x₂－2x₁²－10x₂²．由[*] 函数z=f(x₁，x₂)在(0．75，1．25)的二阶导数为 [*] 由于B²－AC=64－80=－16＜0，A=－4＜0，所以函数z=f(x₁，x₂)在(0．75，1．25)处达到极大值，也即最大值．所以投入电台广告费0．75万元，报纸广告费1．25万元时，利润最大． (2)若广告费用为1．5万元，则需求利润函数z=f(x₁，x₂)在x₁+x₂=1．5时的条件极值．构造拉格朗日函数 F(x₁，x₂，λ)=15+13x₁+31x₂－8x₁x₂－2x₁²－10x₂²+λ(x₁+x₂－1．5)，由方程组 [*] 得x₁=0，x₂=1．5．即将广告费1．5万元全部用于报纸广告，可使利润最大．

解析

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考研数学三

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