设D=为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP，其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵，并证明结论。

admin2017-01-14 49

问题设D=

为正定矩阵，其中A，B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算P^TDP，其中P=

(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-C^TA^-1C是否为正定矩阵，并证明结论。

选项

答案(Ⅰ)因为P^T= [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同，又因D是正定矩阵，所以矩阵M为正定矩阵，从而可知M是对称矩阵，那么B-C^TA^-1C是对称矩阵。对m维零向量x=(0，0，…，0)^T和任意n维非零向量y=(y₁，y₂，…y_n)^T，都有 [*] 可得 y^T(B-C^TA^-1C)y＞0，依定义，y^T(B-C^TA^-1C)y为正定二次型，所以矩阵B-C^TA^-1C为正定矩阵。

解析

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