设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP,其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论。

admin2017-01-14  19

问题 设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算PTDP,其中P=
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论。

选项

答案(Ⅰ)因为PT= [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B-CTA-1C是对称矩阵。 对m维零向量x=(0,0,…,0)T和任意n维非零向量y=(y1,y2,…yn)T,都有 [*] 可得 yT(B-CTA-1C)y>0, 依定义,yT(B-CTA-1C)y为正定二次型,所以矩阵B-CTA-1C为正定矩阵。

解析
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