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设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP,其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论。
设D=为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。 (Ⅰ)计算PTDP,其中P= (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明结论。
admin
2017-01-14
35
问题
设D=
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵。
(Ⅰ)计算P
T
DP,其中P=
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果判断矩阵B-C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明结论。
选项
答案
(Ⅰ)因为P
T
= [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果知矩阵D与矩阵M=[*]合同,又因D是正定矩阵,所以矩阵M为正定矩阵,从而可知M是对称矩阵,那么B-C
T
A
-1
C是对称矩阵。 对m维零向量x=(0,0,…,0)
T
和任意n维非零向量y=(y
1
,y
2
,…y
n
)
T
,都有 [*] 可得 y
T
(B-C
T
A
-1
C)y>0, 依定义,y
T
(B-C
T
A
-1
C)y为正定二次型,所以矩阵B-C
T
A
-1
C为正定矩阵。
解析
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考研数学一
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