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已知ξ1=(1,1,0,0)T,ξ2=(1,0,1,0)T,ξ3=(1,0,0,1)T是齐次线性方程组(I)的基础解系,η1=(0,0,1,1)T,η2=(0,1,0,1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解.
已知ξ1=(1,1,0,0)T,ξ2=(1,0,1,0)T,ξ3=(1,0,0,1)T是齐次线性方程组(I)的基础解系,η1=(0,0,1,1)T,η2=(0,1,0,1)T是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解.
admin
2017-07-26
82
问题
已知ξ
1
=(1,1,0,0)
T
,ξ
2
=(1,0,1,0)
T
,ξ
3
=(1,0,0,1)
T
是齐次线性方程组(I)的基础解系,η
1
=(0,0,1,1)
T
,η
2
=(0,1,0,1)
T
是齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系,求方程组(I)与(Ⅱ)的公共解.
选项
答案
方程组(I)与(Ⅱ)的通解分别是 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
与l
1
η
1
+l
2
η
2
. 若有不全为零的常数a
1
,a
2
,a
3
,b
1
,b
2
,使 a
1
ξ
1
+a
2
ξ
2
+a
3
ξ
3
=b
1
η
1
+b
2
η
2
, 则b
1
η
1
+b
2
η
2
就是方程组(I)与(II)的非零公共解, 对于a
1
ξ
1
+a
2
ξ
2
+a
3
ξ
3
一b
1
η
1
+b
2
η
2
=0,对系数矩阵作初等行变换,有 [*] 通解为t(1,一1,0,一1,1)
T
,即 a
1
=t, a
2
=一t, a
3
=0, b
1
=一t, b
2
=t. 所以方程组(I)与(Ⅱ)的公共解为 t(ξ
1
一ξ
2
)=(0,t,一t,0)
T
.
解析
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考研数学三
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[*]
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